탄소성학의 기초 - (8)

 

 

안녕하십니까, Doctor Ryu's Dictionary입니다.

 

지난 시간에서는 직교 Cartesian 좌표계에 대해 알아보면서, 좌표계 사이의 기저벡터의 변환과 벡터 성분 사이의 변환에 대해 알아보았습니다.

 

그리고 지난 시간 내용에서 뒤에 잠깐 일반 Cartesian 좌표계 중 비직교 좌표계와 역기저에 대해서 알아보았습니다.

 

제가 내용을 작성하다 보니 저도 모르게 잠깐 더 나아갔었는데요. 이번 시간에서는 일반 Cartesian 좌표계에서의 공변과 반변 벡터 성분에 대해 알아보고, 일반 Cartesian 좌표계와 직교 Cartesian 좌표계의 관계를 알아보도록 하겠습니다.

아! 그리고 블로그 글 기능 중에 아래 첨자와 위 첨자를 기입하는 방법을 찾지 못하여 일단은 제 나름대로 표현을 해보았습니다. 그림 파일과 비교해보면서 한 번 파악해보시길 바랍니다. 그럼 시작해볼까요?

 

 

 

 

공변과 반변 벡터 성분

• 어떤 주어진 일반 (비직교) Cartesian 좌표계에 대하여  {p1, p2, p3}를 기저로 삼고, {p^1, p^2, p^3}를 역 기저로 잡으면 식 4.33 에서처럼 p1, p2, p3에 평행한 벡터 성분의 항으로 임의의 벡터 v를 표현할 수 있습니다. 그러나 마찬가지로 v 는 다음과 같이 p^1, p^2, p^3에 평행한 벡터 성분의 항으로 표현되어질 수도 있습니다.

• 성분 {v1, v2, v3}를 v의 ‘공변(covariant)' 성분이라고 부릅니다. 즉 역 기저와 결합한 성분입니다. 반면에 성분 {v1, v2, v3}은 v 의 ’반변(contravariant)' 성분이라고 부릅니다. 식 4.34 로 정의된 기저 사이의 역관계가 대칭인 점을 감안하면 공변과 반변성분의 차이는 여기서 다소 임의적입니다.
• 사실상 내포된 차이는 붙어 있는 첨자기 위 첨자인지 아래첨자인지에 있습니다. 그러나 일반 곡선(non-Cartesian) 좌표계를 고려할 경우에는 그 차이점 보다 자연스럽게 찾을 수 있을 것입니다.
• 역 기저벡터 pj 로 식(5.33)의 양변에 내적을 취하면 다음의 관계식을 얻습니다.

• 마찬가지로

• 따라서 v의 공변과 반변성분은 하기와 같이 부합되는 기저벡터에 대하여 v의 내적에 의해 주어집니다.

• 참고로 그림 4.3에는 2 차원 공간에 있어서 기저벡터 {p1, p2}와 역 기저벡터 {p1, p2}에 대하여 임의의 벡터 v의 반변 및 공변 성분을 도식적으로 나타내었습니다. 직교 Cartesian 좌표계의 경우처럼 정규직교 기저는 ‘자기 상반(self-reciprocal)'이므로 공변과 반변성분을 구별할 필요가 없습니다.
• 게다가 그러한 기저에 대하여 벡터의 성분은 벡터 자체와 같은 물리적인 차원을 갖습니다. 이것은 나중에 논의하겠지만 일반 기저에 대하여 벡터의 공변과 반변성분에 반드시 적용되는 것은 아닙니다.

Fig. 4.4 2 차원 공간에서의 기저벡터 {p1, p2}와 역 기저벡터 {p1, p2}에 대한 임의의 벡터 v의 반변 및 공변 성분

 

 

 

 

일반 Cartesian 좌표계와 직교 Cartesian 좌표계의 관계

• 일반 Cartesian 좌표계의 기저벡터 pi를 주어진 직교 Cartesian 좌표계의 기저벡터 ij의 항으로 나타내 보기로 합니다. 임의의 (스칼라) 계수 L11, …, L33을 사용하여 아래와 같이 나타내어진다고 가정합시다.

• 위 식을 총합 규약을 이용한 첨자 형태(하나는 아래첨자, 하나는 위첨자)로 나타내면 아래와 같습니다.

• 여기에서 (좌표변환)계수 Lij는 벡터의 Cartesian 직교 좌표계에 대한 성분 표시법(즉 ai = a․ej)으로부터 다음과 같음을 알 수 있습니다.

• 또한 역 기저벡터 pi에 대해서도 식 4.39 와 유사하게 (변환) 계수 Mij를 사용하여 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

• 위 식에서 무효 첨자 j에 관한 총합규약(즉 하나는 아래첨자, 하나는 위 첨자로)에 맞추기 위하여 직교 Cartesian 좌표계에서는 자기 상반 관계 즉 ij = ij 를 이용하였습니다. 또한 계수 Mij 는 식 4.40과 유사하게 아래와 같이 정의됩니다.

• 한편 식 4.34에 식 4.39와 4.41을 대입하면 아래의 관계식을 얻을 수 있습니다.

• 즉

• 또는 행렬 표현식으로 나타내면 다음과 같습니다.

• [행렬 M(=Mij)의 경우는 위(분자)가 행, L(=Lij)의 경우는 아래(분모)가 행임에 유의하십시오.]
• 한편 직교 Cartesian 좌표계와 일반 Cartesian 좌표계가 같은 원점을 가지고 있다고 가정합시다. 그렇다면 공간에서 한 점의 위치벡터 r 은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

• 여기서 (y1, y2, y3)는 직교 Cartesian 좌표이며 (x1, x2, x3)는 일반 Cartesian 좌표입니다. 두 좌표계 {yi}와 {xi}와의 관계를 구하기 위하여 식 4.45의 pi항에 식 4.39을 대입하면 다음과 같습니다.

• 여기서 y_i = L_i^j x^i 임을 알 수 있고, 일관성을 유지하기 위해 yj의 첨자를 올리며 아래와 같은 관계를 얻을 수 있습니다.

• 이제 양변을 Mkj 로 곱해서 yj에 대한 xi의 표현을 얻을 수 있으며, j에 대해 합하고, 식 4.34을 사용하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

• 즉

• 따라서 두 좌표계 사이의 변환 관계식인 식 4.46 또는 4.47이 구해졌습니다. 그러나 이하의 텐서해석 부분에서는 가장 효용성이 높은 직교 Cartesian 좌표계에 대하여서만 주로 논의하기로 하겠습니다.

 

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2023.02.04 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (7)

탄소성학의 기초 - (7)