탄소성학의 기초 - (10)

 

 

2차 (직교) Cartesian 텐서

정의 및 기호

• 하나의 2차 직교 Cartesian 텐서는 기저벡터가 변할 때 어떤 (텐서 변환)법칙에 따라 변환하는 성분의 집합으로서 1차 (직교) Cartesian 텐서의 경우와 비슷하게 정의됩니다. 3 차원에서 2차 (직교) Cartesian 텐서는 9개의 성분을 가지고 있으며 이 성분들은 Tij의 기호를 사용하여 나타냅니다.
• 여기서 첨자 I와 j는 1 에서 3 까지지 가능한 모든 수를 취하라는 의미입니다. 다음과 같이 3×3 행렬 배열로 성분을 편리하게 나타낼 수 있습니다.

• 이들은 어떤 정규 직교 기저 {i1, i2, i3}에 대한 텐서의 성분입니다. 다른 기저 {i1', i2', i3'}를 선택할 때 성분은 Tij′가 된다. 즉 여기서 새로운 성분은 아래에 나타낸 변환법칙에 의해 주어집니다.

• 그리고 lip 는 옛 기저벡터에 대한 새로운 기저의 방향여현(식 4.57)으로 나타내어집니다.
• 2차 (직교) Cartesian 텐서에 관한 변환법칙은 1차 (직교) Cartesian 텐서의 경우(식 4.50)와 유사하게 행렬 형태로 쓰여 질수도 있습니다. 우리는 어떤 2차 (직교) Cartesian 텐서의 좌표계에 무관한 2차 텐서표현으로서 기호 T를 사용할 것입니다. 그리고 어떤 주어진 (Cartesian) 직교 기저에 대한 T의 성분의 행렬 배열을 나타내는 기호 T를 사용하여 변환법칙은 다음과 같이 됩니다.

• 여기에서

       (i) 반복되는 첨자를 가진

           처럼 식 (4.59)를 다시 쓰면 행렬의 곱의 법칙에서 가능한 그들의 짝을 따릅니다.
       (ii) ljp가 2 장에서 논의된 전치된 행렬 RT 의 q-j 성분임을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

• 변환 법칙의 ‘행렬 형태(block form)'는 일반적으로 말해서 뒤에 정의될 3 차 이상의 고차 텐서에는 적용할 수 없으나’ 첨자 형태(indicial form)'는 기본적으로 동일하게 적용됩니다.
• 2차 (직교) Cartesian 텐서의 간단한 예는 1차 (직교) Cartesian 텐서인 두 벡터의 ‘다이어딕 곱(dyadic product)'이라고 하는 것에 의해 주어집니다. 만일 이들이 어떤 직교 Cartesian 기저에 대하여 각각 ui와 vi를 성분으로 가진 u 와 v 라면 다음과 같이 두 성분의 곱의 집합을 만들 수 있습니다.

• T= (uv)의 주어진 좌표계에 대한 행렬 배열을 만들면 다음과 같습니다.

• 지금 이들이 변환법칙인 식 4.59를 따르는 1차 (직교) Cartesian 텐서인 것을 하기에서 증명해 보이겠습니다.

 

• 증명) CT1 인 각 벡터 성분은 식 4.49 에 의해 다음과 같이 됩니다.

• 그러면 새 좌표계에 대한 다이어딕 곱의 성분은 다음과 같습니다.

• 따라서 식 4.59를 만족시킵니다.

 

 

 

 

• 다른 방법으로는 다음과 같이 다이어딕 곱 (T = uv) 에 대한 주어진 좌표계에서의 행렬표현으로 나타낼 수 있습니다.

• 여기서 u 는 3x1 열벡터이고 vT 는 원점기저에 대한 두 벡터 성분의 1x3 행벡터입니다. 그러면 식 4.50에 의해 다음과 같이 됩니다.

• 식 4.60에 의해 필요한 것처럼 식 4.50에 의해서 다이어딕 곱에 대한 새로운 성분을 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

• 즉 행렬형태로 나타낸 2차 (직교) Cartesian 텐서에 관한 변환법칙인 식 4.60 이 증명됩니다. 첨자 형태로 타나낸 변환법칙 식 4.59는 옛 성분 Tij의 선형결합으로서 텐서 T 의 각각의 새 성분 Tij’로 표현됩니다.
• 이 ‘선형(linearity)’은 텐서를 더할 수 있고 자연스러운 방법으로 그들 위에 스칼라곱을 행할 수 있다는 것(즉 2차 (직교) Cartesian 텐서가 선형 연산자가 될 수 있음)을 의미합니다. 따라서 변환법칙이 만족한다는 것을 보여줄 수 있기 때문에 S와 T가 어떤 Cartesian 기저에 대한 성분 Sij와 Tij를 가진 2차 (직교) Cartesian 텐서라면 성분의 합에 대응하는 Sij + Tij는 2차 (직교) Cartesian 텐서의 성분을 형성합니다(S + T로 쓰여 집니다.).
• 더욱이 λ가 스칼라인 경우에는 λ에 의해 T의 모든 성분의 곱은 변환법칙을 만족하고 결과적으로 2차 (직교) Cartesian 텐서의 성분으로서 간주될 수 있는 성분 λTij의 집합을 만듭니다. λT로 쓸 수 있습니다.
• 주어진 2 차 텐서로부터 다른 텐서를 만들어내는 다른 방법으로서는 성분의 행렬배열의 치환을 하는 것입니다. 행렬의 양변을 치환하면 변환법칙 식 4.60 으로부터 다음 식을 얻을 수 있습니다.

• 따라서 모든 치환된 행렬배열의 집합은 TT로 타내는 변환법칙 4.60을 따르는 2차 (직교) Cartesian 텐서를 형성합니다. 예로서 TT = (uv)T = vu이며, 어떤 기저에 대한 행렬 표현으로서는 TT = vuT입니다.
• 어떤 주어진 (옛)기저에 대해 T의 성분의 행렬이 대칭이라면 어떤 변환된 (새)기저에 대해서도 T의 성분의 행렬이 대칭이라는 것은 식 4.61 으로부터 알 수 있습니다(즉 TT = T 라면 (T')T = T' 가 성립된다.). 즉 대칭의 특성의 변환법칙에 의해서도 보존됩니다. 그래서 이 경우에 T를 ‘대칭(symmetric) 2차 (직교) Cartesian 텐서’라고 하고, T' = T 입니다.
• 마찬가지로 어떤 주어진 기저에 대하여 한 2차 (직교) Cartesian 텐서인 S의 성분을 행렬이 ST = -S, Sji = −Sij 인 관계를 만족할 때 이를 ‘반대칭(skew symmetric) 2차 (직교) Cartesian 텐서’라고 하고, 이 특성은 대칭 텐서의 경우와 마찬가지로 다른 변환된 기저를 고려할 때도 위에 나타낸 변환 법칙에 의하여 동일하게 보존됩니다.
• 한편 어떤 임의의 2차 (직교) Cartesian 텐서 텐서는 다음과 같이 대칭과 반대칭의 합으로서 표현될 수 있습니다. 즉

• 위 식에서 주어진 기저에 대한 배열 1/2(T + TT)는 대칭이고 1/2(T − TT)는 반대칭인 것을 바로 알 수 있습니다.
• 끝으로 2차 (직교) Cartesian 텐서를 포함하여 일반텐서에 관한 몇 가지 참고사항을 아래에 적기로 합니다.

 

• 1) 텐서의 본질인 좌표계에 무관한 물리적인 량을 나타내는 2 차 텐서 표현으로서 일반적으로 T처럼 표기하나, 성분이 3 개 이상의 첨자를 가진 3 차 이상의 고차 텐서의 경우는 2 차 텐서와의 혼동을 막기 위하여 T(3)처럼 나타내기로 합니다.
• 2) 임의의 한 텐서량 T의 어떤 주어진 좌표계(기저벡터)에 대한 성분 표시의 경우(가량 T = T_ij e_i e_j처럼) 성분 요소의 집합인 행렬 표현으로서는 T = (tij)로 나타냅니다. 따라서 선형 연산자인 한 2차 (직교) Cartesian 텐서인 T가 임의의 벡터 v에 작용하여 다른 벡터 ω를 형성(mapping)할 경우 텐서 표현으로서는 T․v = ω, 그리고 어떤 기저벡터에 대한 행렬표현으로서는 TV = ω로 나타냅니다.
• 3) U(m)․v(n)과 같은 일반 텐서의 연산(여기에서 U 및 B 는 m 차 및 n 차 텐서)에 있어서
  (a) 만약 연산기호 ∘가 ․(내적)인 경우 결과로서 생기는 텐서의 차수는 m+n-2 이며
  (b) 만약 ∘가 ×(크로스적)인 경우 최종 텐서의 차수는 m+n-1 이며
  (c) 만약 ∘가 두 벡터의 다이어딕 곱의 경우처럼 아무것도 아닌 경우 결과로 생기는 텐서의 차수는 m+n 임을 항상 염두에 두면 큰 도움이 되리라 생각합니다.

 

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2023.02.05 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (9)

탄소성학의 기초 - (9)