탄소성학의 기초 - (9)

 

 

1차 및 0차 (직교) Cartesian 텐서

• 정규직교화 된 기저벡터 {i1, i2, i3}를 가진 하나의 직교 Cartesian 기준 좌표계를 생각해봅시다. 벡터 u를 특정 짓기 위해 아래와 같이 스칼라적으로 정의되는 각 기저벡터 방향으로의 u의 성분인 세 실수 u1, u2, u3가 필요합니다.

• 이것은 u = ujij 및 식 4.11로부터 따릅니다.
• 만일 다른 정규 직교기저 {i1′, i2′, i3′}를 가진 또 다른 Cartesian 좌표계를 고려하면 같은 벡터 u 는 기저에 대한 성분 u1', u2', u3'를 가집니다. 여기서 두 다른 기저에 대한 성분사이의 관계는 식 4.32 입니다.
• 즉 u′_j = l_jp u_p 이고 여기의 ljp는 ij와 ip 사이의 각의 여현식을 나타냅니다. 지금 벡터와 동일한 것으로 간주할 수 있는 1차 (직교) Cartesian 텐서를 정의하기 위해 변환 법칙 식 4.32를 사용합니다.

 

 

 

 

• 1차 (직교) Cartesian 텐서는 직교 기저와 식 4.32 에 따라 변환하는 세 실수의 집합 사이에 대응합니다. 주어진 어떤 정규 직교 기저 {i1, i2, i3}에 대해 {u1′, u2′, u3′}가 대응한다면 이들 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

• 또는 4.3 절에서 언급한 바와 같이 회전 변환 행렬 R(=lij)는 직교행렬이므로 식 4.49의 역을 취하면

• 가 얻어진다. 이 1차 (직교) Cartesian 텐서에 관한 변환 법칙은 어떤 좌표계에서의 벡터 성분도 언제나 같은 벡터를 결정한다는 것을 보여줍니다.
• [즉 앞에서 언급했듯이 텐서의 본질은 그것이 나타내는 물리적인 량 또는 텐서 표현식은 좌표계에 대해 불변(coordinate invariance)이고, 다른 좌표계에 따라 성분만 변하고 그 성분 사이에는 각 차수에 상응하는 일정한 (텐서) 변환 법칙이 성립한다는 것을 다시 한 번 보여줍니다.]
• 따라서 하나의 직교 Cartesian 좌표계에서 벡터의 성분을 안다면 다른 직교 Cartesian 좌표계에서도 벡터의 성분을 얻을 수 있습니다.
• 기호 u 는 다음과 같이 어떤 정규 직교 기저에 대한 벡터량 및 성분의 열 (column)벡터를 나타냅니다.

• 벡터 식 4.32의 변환법칙은 다음과 같이 행렬과 열벡터로 표현할 수 있습니다.

• 여기서 열벡터 u′는 같은 벡터(u)의 다른 정규 직교 기저에 대한 성분을 포함하고 9 즉 u = u_j i_j = u′_j i′_j), R(=lij)은 기저벡터간의 방향여현 행렬입니다(식 4.14 참조).
• 4.3 절에서 언급한 바와 같이 R 은 직교행렬, 즉 RRT = RTR = I 인 사실로부터 R 의 행 또는 열벡터 사이에는 하기와 같이 정규직교 관계가 성립됩니다.

• 만약 직교 Cartesian 좌표계 사이의 연속 회전변환에 대하여, u′_i = l_ij u_j 와 u″_i = m_ij u′_j라고 가정하면, 복합 회전은 하기와 같이 행렬 ML 에 해당합니다. 즉

• 학생에게 친숙한 1 차 텐서 (즉 벡터)의 물리학적인 예는 많이 있습니다. 간단한 것으로서, 질량이 m 인 입자의 운동량의 Cartesian 성분 (m′x1, m′x2, m′x3)을 들 수 있습니다. 이들 변환(식 중에 포함된 어떤 수(m)에 의한 곱이라든지 또는 시간에 대한 미분과 같은 연산)은 (원점이 일치하는)두 좌표축 사이의 직교 (회전) 변환에 의하여 영향을 받지 않으므로 실제(x1, x2, x3)의 변환과 동일합니다. 마찬가지로 가속도와 힘 등은 1 차 텐서 성분으로 나타내어집니다.

 

 

 

 

• 위치벡터가 수반된 더 복잡한 다른 벡터, 가령 질량 m 인 입자의 각운동량인 L = r☓p = m(r☓′r)도 역시 1 차 텐서입니다. 이에 대한 증명은 L 의 성분을 풀어 쓰거나 나중에 나올 텐서에 관한 ‘상법칙(quotient law)’을 사용하고 교대기호 eijk를 사용하여 확인할 수 있습니다.
• 지금까지는 1 차 텐서인 벡터 같은 량 집합에 대한 좌표축 회전의 영향을 고찰해 왔으나, 이번에는 축의 회전에 변화하지 않는 량을 생각해 봅시다. 앞의 정의에서 이러한 량은 스칼라라고 불러 왔지만 그들은 0 차 텐서로 표현할 수도 있습니다. 0 차 텐서는 단지 하나의 성분만을 가지고 있습니다(수학적으로 말하면 특별한 성분을 나타내는데 필요한 아래첨자의 수가 0 입니다).
• 축의 회전과 관련된 가장 특별한 예는 원점에서의 점의 거리의 제곱, 즉

• 입니다. 새로운 좌표계에서는

• 의 형태를 가지는데 이것은 어떠한 회전에 대해서도

• 의 같은 값을 가집니다.
• u․v 처럼 좌표계에 무관한 형태로 쓰는 것에서 알 수 있듯이, 사실상 두 개의 1 차 텐서(벡터)의 어떠한 스칼라적도 0 차 텐서(스칼라)입니다.

 

• 예제) 회전에 의해 연관된 2 개의 Cartesian 좌표계에 대하여 벡터 u와 v를 성분으로 나타내어 스칼라 곱 u • v 가 회전에 대하여 불변임을 보이시오.
• 풀이) 원래의 {yi} 계에서 스칼라적은 uivi 성분의 항으로 주어지고, 회전된 {yi} 계에서는 다음에 의해 주어집니다.

• 여기서 직교관계 4.51을 사용하였습니다. 회전된 좌표계에서의 결과적인 표현이 원래의 좌표계에서와 같기 때문에, 스칼라적은 회전에 대하여 불변입니다.
• 위 예제의 결과는 많은 물리적으로 중요한 량들을 0 차 텐서로 취급할 수 있도록 합니다. 아마도 가장 좋은 예로서, 에너지와 위치 에너지 혹은 에너지 밀도 [예를 들어 e는 전자의 전하, E는 전장강도일 때 F․dr, eE․dr]가 있습니다.
• 물리적 상황에 대한 대부분의 분석에서 에너지와 같은 스칼라량은 주어진 좌표계에 의존하지 않는다는 것은 사실입니다. 그러한 량들은 축의 회전에 대하여 불변이며 따라서, 가장 다루기 쉬운 축을 선택하여 계산하는 것이 가능하며 결과에 대하여서도 신뢰할 수 있습니다.
• 2개의 1 차 텐서로부터 0 차 텐서를 구하는 방법을 보충함으로써, 스칼라로부터 1 차 텐서를 얻을 수 있다. 즉, 스칼라 함수 φ의 기울기 gradφ는 1차 (직교) Cartesian 텐서이라는 것을 보여주겠습니다.

 

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2023.02.05 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (8)

탄소성학의 기초 - (8)