탄소성학의 기초 - (7)

 

 

직교 Cartesian 좌표계

좌표계 사이의 기저벡터의 변환

• 3 차원 Euclid 공간에서의 직교 Cartesian 좌표계는 세 좌표축에 따른 기저(base) 벡터들이 (크기와 방향에 있어서) 위치에 무관하며, ‘정규 직교 삼면조(orthonormal triad)'를 형성하는 계입니다.
• 그러나 이후부터는 텐서해석의 자연스러운 이론적인 확장을 위하여 공간에서의 한 점의 위치를 나타내기 위한 좌표로서 보다 친숙한 표현인  x, y, z 대신에  y1 ,y2 ,y3을, 그리고 기저벡터 집합으로서 {i, j, k} 대신에 {i1, i2, i3}을 주로 사용할 것입니다.
• [그러나 필요에 따라서는 언제든지 기존의 친숙한 표현을 사용할 수 있음에 유의해야 합니다.]
• 그리고 세 단위벡터들 사이의 내적 및 외적 표현으로서는 4.2 절에서 소개한 e- 및 δ- 기호를 이용하여 보다 함축적인 표현인 식 4.11 및 4.12 를 사용하기로 합니다.

• 그러면 주어진 한 개의 직교 Cartesian 계 i1, i2, i3에 대하여 u 는 성분 ui를 가지고 있으나, 단위벡터 i1´, i2´, i3´로 주어지는 다르게 배향된 직교 Cartesian 좌표계에 대하여서는 ui´로 표시되는 전체적인 다른 성분의 집합이 있습니다. u의 성분의 2개 집합간의 관계는 옛 기저벡터  i1, i2, i3에 대하여 새 기저벡터  i1, i2, i3의 방향을 정의하는 방법을 설정함으로써 유도될 수 있습니다.

Fig 4.1 서로 다르게 배향된 두 직교 Cartesian 좌표계에서의 기저벡터 {i1, i2, i3}와 {i1´, i2´, i3´}

• 양쪽의 계를 같은 원점 O를 가지고 Oy1y2y3 과 Oy1´y2´y3´의 축을 가진다고 가정할 수 있습니다. 옛 좌표계의 항으로 새 좌표축의 위치를 정의하는 편리한 방법은 Oy1y2y3 축에 대하여 새로운 단위벡터의 방향여현(direction cosine)을 정의하는 것입니다.

 

 

 

 

• ljp를 새로운 좌표계의 j 번째 축과 옛 좌표계의 p 번째 축 사이의 각도의 여현으로 표시합시다. 다음으로 옛 좌표계에 대한 ij´의 방향여현은 li1, li2, li3 이다. 이것은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

• 총합규약을 사용하여 (첨자 p가 취할 수 있는 모든 값을 더하면)

• 여기에서

• 반대로 새 좌표계에 대한 옛 좌표계의 벡터 i1, i2, i3에 대한 유사한 표현이 있습니다.

• 왜냐하면 계수 ljp 가 여전히 ip 와 ij´사이의 방향여현을 나타내고 있기 때문입니다. 따라서

• 두 식 4.13 과 4.15를 결합하면 다음과 같습니다.

• [여기서 식 4.15의 무효첨자 j에 대하여 새로운 첨자 k를 도입해야 합니다. 왜냐하면 j는 이미 식 4.16 에서 자유첨자로 사용되고 있기 때문입니다.]
• 식 4.16 을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

• 그리고 양변에서 ik´의 계수를 같게 하면 다음과 같습니다.

• 식 4.13 과 4.15를 결합하면 아래와 같이 또 다른 관계식을 얻을 수 있습니다.

Fig. 4.2 단위벡터 i1, i2, i3를 i1´, i2´, i3´로 i3 방향에 대해 각도 Θ만큼 회전시키는 변환

• 따라서

• 두 직교 Cartesian 좌표계의 좌표축 (또는 기저벡터) 사이의 상관관계 (방향여현)를 나타내는 성질 식 4.17 및 4.18 을 갖는 식 4.14 로 정의되는 lij 를 요소로 가지는 (변환) 행렬 R은 직교(orthogonal) 행렬입니다(즉 RT=T-1).
• 위 관계에 대한 예로서 단위벡터 i1, i2, i3 방향에 대해 각도θ만큼 회전하여 방향에서 변하지 않은 새로운 방향 i1´, i2´, i3´로 되는 변환을 고려해봅시다(그림 4.2 참조). 그러면 식 4.13 은

• 여기에서 계수들은 식 4.17 과 4.18 을 만족함을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

벡터성분 사이의 변환

• 벡터 u 가 다음과 같이 기저벡터 i1, i2, i3 에 대한 성분으로 나타내어집니다.

• 또한 새로운 좌표계에 대해 다음과 같이 성분으로 나타내집니다. 계는 식 4.13 에 의해 연관되어 있으므로 다음과 같습니다.

• 여기서 식 4.20 에서의 성분과 같게 하면 다음과 같습니다.

• 이것은 새로운 성분의 항으로 옛 성분을 표현한 것입니다. 이와 유사하게 식 4.15를 사용하면

• 따라서

• 이 변환식은 쉽게 기억될 수 있으며 나중에 언급될 (1차) 텐서의 정의에 대한 기초식입니다.

 

 

 

일반 Cartesian 좌표계

비직교 좌표계와 역기저

• 어떤 임의의 벡터는 일반적으로 앞 절에서 언급된 바와 같은 직교 Cartesian 좌표에 대한 성분으로 나타내는 것이 편리합니다. 그러나 어떤 문제에 있어서는 비직교 Cartesian 좌표계(비록 직교는 아니라도 기저벡터는 위치에 무관함)의 사용이 편리할 때가 있습니다.
• 예를 들어 ‘결정격자(crysual lattice)' 이론의 경우입니다. 3 차원에서 임의의 벡터는 동시에 같은 평면상에 있지 않은 (선형 독립인) 3 개의 주어진 기저벡터로 표현되어질 수 있습니다. 기저벡터는 단위벡터일 필요도 없으며 또한 서로 직교가 아닐 수도 있습니다.
• 3 차원 공간에서 p1, p2, p3으로 표기하며 일반적으로 단위벡터도 아니고 상호 직교하지도 않는 하나의 기저벡터의 집합을 가정해봅시다. 이들 세 기저벡터가 같은 평면상에 있지 않을 조건은 그들의 스칼라 삼중곱 [p1, p2, p3]가 0이 아니어야 합니다. 그 벡터의 집합은 벡터의 3 차원 공간에 대해 ‘기저(basis)'를 형성한다고 말하고, 임의의 벡터 v는 주어진 비직교 좌표계에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
• 여기서 v^1, v^2, v^3 은 주어진 기저 {p1, p2, p3}에 대한 v의 (스칼라)성분으로 간주되고 v^1p1, v^2p2, v^3p3 는 v의 벡터성분입니다.
• v의 성분을 표현하기 위해서 아래첨자가 아닌 위 첨자를 사용하는 것은 일반(곡선) 좌표계에 대한 벡터와 텐서 해석의 중요한 특징의 하나입니다. 물론 v^2 와 v^3 을 v^1 의 멱급수(power)로 혼동하지 말아야 합니다.(여기서 제곱과 세제곱은 각각 (v^1)^2 과 (v^1)^3으로 씁니다.)
• 주어진 기저벡터의 집합 {p1, p2, p3}에 대하여 하기의 관계를 만족하는 한 쌍의 ‘역 또는 상반(reciprocal)' 기저의 집합 {p1, p2, p3}가 존재합니다.

• 여기서 i 와 j 는 1 부터 3 까지 어떤 값도 취할 수 있습니다. 따라서 벡터 p^1 은 p2, p3 과 직교합니다. 그리고 크기는 p^1*p1 = 1 이 되도록 다음과 같이 결정합니다.

• 여기서 cos(p^1, p1)은 p^1과 p1사이의 각도의 여현을 말합니다.
• ｜p^1｜과 ｜p1｜이 둘 다 양수 (+)이므로 cos(p^1, p1)는 양수가 되어야 하며, 이것은 p^1 과 p1 사이의 각도가 예각이 되어야 함을 의미합니다. 마찬가지로 p^2와 p2 그리고 p^3 과 p3에도 적용할 수 있습니다.
• 전형적인 배치가 그림 5.3에 도시되어 있습니다. 또한 이들 기저벡터의 집합 {pi}와 {p^i}사이에는 아래의 중요한 두 관계가 성립합니다.

 

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2023.02.04 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (6)

탄소성학의 기초 - (6)