탄소성학의 기초 - (6)

 

 

기호를 이용한 벡터 및 행렬식의 연산

• 텐서 해석에 있어서 매우 중요한 역할을 하는 2 가지 기호인 “e- 및 δ- 기호”를 도입하기 전에 관련 텐서 식들을 보다 간결한 형태로 나타내는 데 아주 유용하게 쓰이는 첨자에 대한 (Einstein 의) ‘총합규약(summation convention)'에 대한 소개를 하고자 합니다.
• 이 규약은 수식 중에서 정확히 두 번 나오는 알파벳 아래첨자는 (반대의 경우가 특별하게 정의되지 않더라도) 그 위치에서 첨자가 취할 수 있는 모든 값(가령 3 차원 직교 Cartesian 좌표계인 경우 i=1～3)에 대해 합하라는 의미입니다. 아래첨자로 쓴 양은 수식에서 분자 혹은 분모에 나타날 수도 있습니다.
• 이것은 본래 반복되는 첨자의 어떤 쌍도 같은 범위를 가지는 첨자위치에 있어야 한다는 것을 의미합니다. 때때로 값의 범위는 정의되어야 하지만 대부분의 경우에 있어서는 문맥에 의해 분명히 정해집니다.
• 다음의 간단한 예제는 (3 차원 공간의 경우에서) 의미하는 것이 무엇인지를 보여줍니다.

• 합해지는 아래첨자를 ‘무효첨자(dummy index)'라 하고 나머지의 경우는’ 자유첨자(free index)'라고 합니다. 무효첨자를 수식에 도입할 때, 이미 있는 아래첨자를 사용하지 않도록 주의해야 합니다. 예를 들어, a_if b_jk c_kl 은 a_ij b_jj c_jl 또는 a_il b_lk c_kl 에 의해 바꾸어질 수 없지만, a_im b_mk c_kl 또는 a_im b_mn c_nl 에 의해서는 바꾸어질 수 있습니다(본래 자유첨자는 수식을 다룰 때 첨자의 변환을 요구하지 않는 경우에 바꾸면 절대 안 됩니다.).

 

 

 

 

• 또한 다음과 같이 정의되는 “Kronecker delta" δij를 종종 사용하게 될 것입니다.

• 총합규약을 사용할 때 δij의 주된 사용은 수식 중에서 어떤 한 첨자를 다른 첨자로 바꾸는 것입니다. 예를 들어

• 여기서 좌변의 양쪽 항에 의해 공유되고 있는 무효첨자(j)는 Kronecker delta 에 수반된 자유첨자(k)에 의해 교체되고 δ기호는 사라졌습니다. 행렬 형태에서는 식(5.1)은 AI = A 의 형태로 나타낼 수 있는데, 여기서 A 는 aij 의 성분을 갖는 행렬이고, U 는 A 와 같은 차원을 가지고 단위행렬입니다.
• 마찬가지로

• 반면에 어떤 수식에서는 Kronecker delta를 다음과 같이 또 다른 방법으로 첨자를 바꾸는데 사용합니다.

• Kronecker delta 는 이러한 성질 때문에 ‘치환 연산자(substitution operator)'라고 부르기도 합니다.
• 다음에는 아래와 같이 정의되는 3 개의 첨자를 가지고 있는 또 하나의 중요한 기호인 “Levei-Civita" 기호로 알려진 ‘교대(alternating) 또는 순열(permutation)’ 기호 eijk를 소개하겠습니다.

• 앞에 언급된 δij 는 두 첨자에 있어서 대칭(즉 δij = δji)인 반면에 eijk 는 반대칭으로서 첨자 쌍을 상호 교환하면 부호가 반대로 됩니다. 사실상 eijk 혹은 어떠한 eijk 의 스칼라 곱은 이런 성질을 가진 단지 3 개의 첨자를 가진 양입니다.
• 한편 3×3 행렬 A 의 행렬식을 쓰는데 아래와 같이 eijk를 사용할 수 있습니다.

• 이것은 3 차 행렬식에 관한 Laplace 전개식과 유사하며, N×N 행렬인 경우에도 쉽게 확장될 수 있습니다.
• 실제로 행렬식은 많은 성질을 다루는데 있어서 이 식을 사용하는 것이 매우 효과적입니다.

 

 

 

 

• 행렬식의 편리한 표기법을 제공하는 것뿐만 아니라 벡터 대수와 미적분의 많은 수식들이 δij 와 eijk 를 포함하고 있는 축약된(contracted)텐서로 표현될 수 있습니다. 한 예로, 오른손 Cartesian 좌표계에서, 벡터적 a = b × c 는 a_i = e_ijk b_j c_k 에서의 i 번째 성분을 가집니다. 이것은 나중에 언급되는 T_ij = v_i c_j 성분을 가진 2 차 텐서인 두 벡터의 ‘외적(outer product)' 또는 ‘다이어딕 곱(dyadic product)’인

• 와 대조될 수 있습니다.
• e-기호와 δ-기호 사이의 관계식은 다음과 같은 소위 “e-δ 항등관계(identity)”로 표현될 수 있습니다.

• 증명) 2 개의 4 차 텐서들(좌변은 한번 축약된 6 차 텐서이다)간에 이 항등식이 유효함을 보이기 위해서 일어날 수 있는 다양한 가능성을 생각해 봅시다.
• 식 4.3 의 우면은 다음과 같은 값을 가집니다.

• 좌변에서 각각의 곱을 행함에 있어서 k 는 양쪽인자 e_ijk e_klm1에서 같은 값을 가지고 있으며(즉 k 는 무효첨자), 0이 아닌 항을 생성하기 위해서 k 는 I, l, j, m 과 같은 값을 가질 수 없습니다. 왜냐하면 취할 수 있는 첨자의 수는 단지 3 개의 값(1,2,3)만 가능하므로, 0 이 아닐 가능성은 i=l 이고 j=m 인 경우 혹은 그 역의 경우이다.
• 그러나 4 개의 첨자 모두는 같지 않습니다. (왜냐하면 만일 i=j 혹은 l=m 이라면 각각의 e 인자가 0 이 되기 때문이다.) 이 경우 식 4.3 의 좌변에 대하여 조건 4.4, 4.5 또는 4.6 이 만족됩니다. 또한 식 4.4 와 4.5 에서의 값은 식 4.3 의 좌변에서도 역시 만족됩니다. 왜냐하면

      (1)만일 i=l, j=m, e_ijk = e_lmk = e_klm 이라면 e_ijk 가 +1 혹은 –1 이라도, 두 인자의 곱은 +1 이 되고,

 

      (2)만일 i=m, j=l, e_ijk = e_lmk = -e_klm 이라면, 곱 e_ijk e_lmk(n.s.)은 –1 이 된다. 따라서 식 4.3 이 증명되었습니다.

• 수식 4.3 의 유용한 응용은 벡터적의 벡터적으로부터 나오는 벡터량에 대한 다른 표현을 얻는데 있습니다.
• 행렬식에 대한 다양한 가능성을 시험해 봄으로써 보다 일반적인 다음의 관계를 입증할 수도 있습니다.

• 그리고 식 4.3 은 이 결과의 특별한 경우임을 쉽게 알 수 있습니다. 식 4.7 로부터 식 4.3 의 다른 형태로 유도할 수 있습니다. 예로서

• 이 항등식에서의 아래첨자의 패턴은 우변에서 첫 번째 δ에 대한 아래첨자들이 좌변에서의 각각의 e 항에 대한 공통의 아래첨자(여기서 i)를 따른다는 사실로부터 쉽게 기억될 수 있고, 우변의 다른 δ항에 대한 아래첨자는 j, k, l, m 의 나머지 조합을 사용하여 자동으로 채워질 수 있습니다.
• 식 4.8 에서 j = l 로 두고, 총합 규약 및 δkk = 3 을 이용하여 축약시키면 다음과 같습니다.

• 그리고, k = m 으로 두어서 한 번 더 축약하면, 다음과 같이 됩니다.

 

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2023.02.04 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (5)

탄소성학의 기초 - (5)