탄소성학의 기초 - (5)

 

 

이번 시간부터는 우리가 탄소성학에서 다루고 있는 이론이나 실험 결과들을 기반으로 하는 물리학적 현상들을 파악하는 데에서 가장 기본적으로 알고 있어야 하는 Cartesian 텐서에 관하여 집중적으로 다루고자 합니다.

 

하지만, Cartesian 텐서에 관한 내용이 상당히 많아서 개인적으로 나누어서 글을 작성할 계획입니다.

그래서 전체적으로 한 번 보시고 필요하신 부분들은 다시 한 번 더 보시면서 눈에 익히시면 더 좋을 것 같습니다.

그럼 우리 같이 한 번 둘러볼까요?^^

 

 

 

 

Cartesian 텐서

텐서란?

• 물리적인 과정(physical process)에서 일어나는 많은 현상들의 양적인 표현은 관련된 좌표계(coordinate system)에 의존할 수 없음은 당연한 것처럼 보일지도 모릅니다. 그러나 이러한 물리적인 결과들이 좌표계의 선택에 독립적이라면 물리적인 과정의 표현에 관련된 양(quality)의 본성은 무엇을 의미하여야 하는가요?
• 이러한 양이 의미하는 뜻과 이것을 사용하여 물리적 양을 분류하는 것이 이 장 나머지 부분에서 다룰 ‘텐서 해석(tensor analysis)’에 관한 것입니다.
• 비록 이 장에서 소개된 개념이 거의 수정 없이 더욱 추상적인 공간(가령 특수 및 일반상대성 이론에서의 4 차원 시공간)에 적용되어질 지라도, 여기서는 우리의 관심을 항상 직교 Cartesian 좌표계를 발견 가능한 3 차원 유클리드 공간으로 한정시킬 것입니다. 이것은 미분 가능한 다양체와 접선(tangent) 및 이중 공간에 대한 많은 논의를 줄여 줄 것입니다.
• 텐서는 스칼라와 벡터를 일반화한 것으로 간주될 수 있습니다. 가령 ‘차수(order 또는 rank)'가 0 인 텐서는 스칼라이고, 차수가 1 인 텐서는 벡터입니다. 3 차원 직교 Cartesian 좌표계에서 스칼라는 1 개(=30)의 성분을 가지고 있으며, 벡터는 3 개(=31)의 성분을 가지고 있다. 2 차 텐서는 9 개(=32)의 성분을 가지고 있으며 일반적으로 n 차 텐서는 3n(일반 곡선 좌표계의 경우는 6n)개의 성분을 가지고 있습니다.
• 텐서이론으로 접근은 여러 가지 방법이 있습니다. 하나는 선형연산자(linear operator)의 대수적인 이론을 통한 것입니다. 예를 들어 2 차 텐서는 벡터에 작용하여 새로운 벡터를 만드는 선형 연산자와 동일합니다.
• 이러한 예로 3 차원 유클리드 공간에 속하는 어떤 주어진 기준 좌표계에 대하여 2 차 텐서를 행렬의 곱에 대한 선형 연산자로서 3×3 행렬로 표현할 수 있습니다. 3×1 열벡터 u에 3×3 행렬 T를 곱하면 3×1 열벡터 v로 되며, 이것은 다음과 같은 표현식으로 나타낼 수 있습니다.

• 일반적으로 다른 기준 좌표계에 대해 u, v 의 성분과 2 차 텐서 T 는 모두 변화할 것이고 따라서 위 식은 아래와 같이 다른 수치를 가진 행렬과 열벡터로 표현될 것입니다.

• 그러므로 이것은 선택된 기준 좌표계에 무관한 ‘좌표 불변 타당성(coordinate-free invariant validity)'을 가진다는 관점을 적용할 수 있습니다. 이 타당성은 일반적으로 고려된 문제의 물리적인 특성의 결과가 됩니다. 기준 좌표계의 선택은 주어진 상황에서 기본적인 물리법칙에 영향을 줍니다.
• 여기에서 다루는 텐서 해석은 수학적인 내용을 이 기본적인 물리 개념으로 전환하는 것을 의미합니다. 임의의 주어진 한 기준 Cartesian 좌표계에 대해 벡터 u 는 성분 (u1, u2, u3)을 가지며, 새로운 기준 좌표계에 대한 성분은

• 이 될 것이고 이 새로운 성분이 계산될 수 있는 두 좌표계 사이의 변환 방정식(transformation equation)이 존재하게 됩니다. 가령 어떤 크기와 방향을 가진 물리적인 양으로서 1 차 텐서인 벡터 u 를 생각해 보면 벡터 u 그 자체는 기본적으로 변하지 않지만 주어진 기준 좌표계에 대한 u 의 성분은 앞에서 언급한 바와 같이 일정 변환 식에 의해 다른 기준 좌표계의 성분으로 바뀌게 됩니다.
• 따라서 벡터에 대한 또 다른 정의로 임의의 한 벡터를 주어진 한 (3 차원) 좌표계와 3 개의 정렬된 숫자 사이의 1 : 1 대응으로서 벡터로 간주할 수 있습니다. 환언하면 벡터는 모든 가능한 기준 좌표계에 대하여 대응하는 모든 가능한 (벡터) 성분 표현의 집합입니다.
• 3 차원 유클리드 공간에서 3×3 행렬은 9 개의 성분을 가지듯이 2 차 텐서도 9 개의 성분을 가집니다. 이 성분들은 기준 좌표계가 변화할 때 2 차 텐서에 적합한 특별한 변환법칙에 따라 변화합니다. 텐서 그 자체는 벡터의 경우와 마찬가지로 모든 가능한 기준 좌표계에 대하여 가능한 행렬 표현의 집합으로서 생각할 수 있습니다.
• 또한 일반적으로 텐서를 어떤 일정한 크기와 방향을 가진 벡터처럼 간단하게 나타내는 것은 불가능하더라도 벡터와 마찬가지로 한 객관적인 물리적 실재(an objective physical reality)를 가지는 것으로서 간주해야 할 것입니다. 이하에서 텐서의 다양한 성분표현과 관련된 주요 변환 법칙을 강조하겠습니다.
• 이 장에서 특별하게 강조하는 텐서 해석의 한 개념은 직교 Cartesian 좌표계를 기초로 한 식으로부터 임의의 일반 기준 좌표계로 적용할 때의 과정에 대한 기법입니다. 끝으로 일반 텐서 이론은 Cartesian 텐서를 특별 경우로 포함한다는 사실, 즉 얻어진 일반 텐서 표현식은 잘 알려진 Cartesian 좌표계의 특수 형태로 언제든지 환원될 수 있다는 것을 항상 염두에 두어야 할 것입니다.

 

 

 

 

 

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2023.02.04 - [의공학/기초 역학] - 탄소성학의 기초 - (4)

탄소성학의 기초 - (4)